Langsung ke konten utama

Himpunan, Elemen dan Bilangan

HIMPUNAN

Definisi himpunan

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Penyajian

A. Himpunan Enumerasi

Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanyasuatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf  kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.

B. Contoh
  • Himpunan A mempunyai tiga bilangan asli pertama: A={1,2,3}.
  • Himpunan B mempunyai dua bilangan genap positif pertama: B={4,5}.
  • Meskipun himpunan biasa digunakan untuk mengelompokkan objek yang mempunyai sifat mirip, tetapi dari definisi himpunan   diketahui  bahwa sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda. Contoh: {hewan, a, Amir, 10, komputer} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu hewan, a, Amir, 10, komputer.
  • R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }    C  = {a, {a}, {{a}} }. Contoh tersebut memperlihatkan bahwa suatu himpunan bisa terdapat anggota himpunan lain.
  • K={ }. Contoh tersebut adalah himpunan kosong, karena K hanya berisi satu elemen yaitu { }.
  • Himpunan kosong dapat dilambangkan dengan Ø.
  • Himpunan 100 buah bilangan asli pertama bisa dituli {1, 2, …, 100}
  • Untuk menuliskan himpunan yang tak berhingga, kita dapat menggunakan tanda ellipsis(∞).
  • Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
C. Keanggotaan
x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A;
x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
misal, A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
maka, 1 ∈ A dan b ∉ A

D. Simbol-simbol Baku
Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan,
antara lain:
P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,…}
N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2,…}
Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah  himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U.
Himpunan  U harus diberikan secara eksplisit atau diarahkan berdasarkan pembicaraan. Sebagai contoh, misalnya U = {bil. Genap kurang dari 6} berarti U = {2, 4}

E. Notasi Pembentuk Himpunan
Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.
Notasi:{x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan:
  • Bagian di kiri tanda ’|’ melambangkan elemen himpunan
  • Tanda ’|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga
  • Bagian di kanan tanda ’|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
  • Setiap tanda ’,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan
Contoh:
A adalah himpunan bilangan asli
Daftar anggota: A={1,2,3,. . .}
Notasi pembentuk himpunan: A={x | x ∈ A }
F. Diagram Venn
Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut.
Contoh:
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},
                  A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A.
Notasi: n(A) atau |A|  , notasi |A| untuk menyatakan kardinalitas himpunan.
B = {x|x merupakan HIMA di STTG}, Maka |B| = 4, dengan elemen-elemen B adalah HIMATIF, HIMAKOM, HIMASIP, HIMATI.
A = {a, {a}, {{a}}, maka |A| = 3, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah a, {a}, dan {{a}}.
Himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya mempunyai kardinalitas tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R| = ∞.

Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi: Ø atau { }
Contoh: A = {x | x < x}, maka n(A) = 0
Perhatikan bahwa himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Ø}.

Himpunan bagian (subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A ⊆ B
Contoh: A ⊆ B jika elemen A ada di B                                                                                         
A = {1,2,3}
B = {1,2,3,4,5,7}
C = {1,2,4,5}     
Jadi : * A ⊆ B                                                                                                                                    
* A bukan himpunan bagian C

Himpunan yang Sama

– Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
– A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.
– Notasi : A = B  ↔  A ⊆ B dan B ⊆ A   
– Contoh: A={a,b,c}, B={c,a,b}      Jadi, A=B
– tiga prinsip yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:
1. urutan elemen dalam himpunan tidak penting.         
jadi {1,2,3} = {3,2,1} = {1,3,2}
2. pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.            
Jadi, {1,1,1,1}={1,1}={1}          {1,2,3}={1,2,1,3,2,1}
3. untuk tiga buah himpunan, A, B, C berlaku aksioma berikut:
– A = A, B = B, dan C=C
– Jika A = B,maka B
– Jika A = B, dan B = C maka A = C

Himpunan Ekivalen

– Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
– Notasi: A ~ B  ↔ |A|=|B|
Contoh: A={a,b,c} dan B={2,4,6} maka A ~ B sebab |A|= |B|

Himpunan Saling Lepas

– Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
– Notasi : A // B  
– Contoh: jika A={2,4,6,8} dan B={3,5,7} maka A // B sebab elemen himpunan A dan elemen himpunan B tidak ada yang sama.

Himpunan Kuasa

  • Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
  • Notasi : P(A) atau 2A
  • Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m.
Contoh:
– Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
– Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, & himpunan kuasa dari himpunan {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø, {Ø}}.

 Operasi Pada Himpunan

1. Irisan ( ∩ )
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.
Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}
Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A ∩ B={2,3,5}

2. Gabungan  ( ∪ )
Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah  himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.
Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka, A ∪ B={1,2,3,4,5,7,11}

3. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }
Misalkan U={0,… 11} dan A={1,3,5,7} maka, Ā = {0,2,4,6,8,9,10,11}

4. Selisih
Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.
Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’
Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A – B = {1,4}

5. Beda Setangkup
Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
Notasi: A⊕ B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)
Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka ,  A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }

6. Perkalian Kartesain
Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan
berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.
Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}
Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka  C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

Catatan:
1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|
2. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong.
4. Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B x A = ∅

Sifat-sifat Operasi Himpunan

 1. Hukum identitas:– A ∪ ∅ = A– A ∩ U  = A 2.Hukum null:– A ∩ ∅ = ∅– A ∪ U = U
 3. Hukum Komplemen:– A ∪ Ā = U– A ∩   Ā = ∅ 4. hukum idempotent:– A ∪ A = A– A  ∩ A = A
 5. Hukum Involusi:–  –(–A)= A 6. Hukum Penyerapan:– A ∪ (A ∩ B) = A– A ∩ (A ∪ B) = A
 7. Hukum Komutatif:
– A ∪ B = B ∪ A– A ∩ B = B ∩ A		 8. Hukum Asosiatif:– A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C– A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C– A ⊕ (B ⊕ C)=(A ⊕ B) ⊕ C
 9. Hukum distributif :– A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)– A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A∩C) 10. Hukum DeMorgan :– A∩B = A∪ B– A∪ B = A∩ B

Prinsip Inklusi-Eksklusi

  • Berapa banyak anggota didalam gabungan dua buah himpunan A dan B? Penggabungan dua buah menghasilkan dua buah himpunan baru yang elemen-elemenya berasal dari himpunan A dan himpunan B.
  • Himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen-elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah ⏐A ∩ B⏐. Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua  kali, sekali pada ⏐A⏐ dan sekali pada ⏐B⏐, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam ⏐A∪ B⏐, karena itu, jumlah elemen hasil penghubungan seharusnya adalah jumlah elemen dimasing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen didalam irisannya, atau ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐– ⏐A ∩ B⏐.
Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi-eksklusi. Dengan cara yang sama, kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup:  ⏐A ⊕ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐– 2⏐A ∩ B⏐

 Partisi
Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2 …..dari A sedemikian
sehingga :
(a)    A1 A2 …. = A, dan
(b)   Himpunan bagian Ai saling lepas;yaitu Ai ∩ Aj = Ø untuk i ≠ j.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

 Multiset
  • Dari definisi himpunan, himpunan adalah kumpulan elemen yang berbeda. Namun pada beberapa situasi, adakalanya elemen himpunan tidak seluruhnya berbeda, misalnya himpunan nama-nama mahasiswa di sebuah kelas. Nama-nama mahasiswa di dalam sebuah kelas mungkin ada yang sama, karena itu ada perulangan elemen yang sama di dalam himpunan tersebut. Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan-ganda  atau multiset. Contoh: {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {} adalah himpunan ganda.
  • Multiplisitas dari suatu elemen pada multiset adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada multiset. Misalkan : Jika M = { 0, 1, 01, 1, 0, 001, 0001, 00001, 0, 0, 1}, maka multiplisitas elemen 0 adalah 4. Himpunan merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sbg kardinalitas himpunan padanannya, dgn mengasumsikan elemen2 di dalam multiset semua berbeda.
  • Operasi Antar Dua Buah Multiset
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh:
             P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },
             P Q = { a, a, a, b,  c, c, d, d
2.  P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tsb pada himpunan P dan Q.
Misal: Jika P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } maka P ∩ Q = { a, a, c }

 Pembuktian Kalimat Himpunan
Kalimat himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Kalimat dapat berupa kesamaan himpunan, misalnya “A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)” adalah sebuah kesamaan himpunan, atau berupa kalimat implikasi seperti “jika A ∩ B = Ø  dan  A ⊆ (B ∪ C) maka selalu berlaku bahwa A ⊆ C”

ELEMEN

Elemen atau anggota dari suatu himpunan dalam matematika adalah objek-objek matematika tertentu yang membentuk himpunan itu.
Penulisan A = {1, 2, 3, 4} berarti bahwa elemen-elemen himpunan A adalah bilangan 1, 2, 3 dan 4. Himpunan elemen-elemen A, misalnya {1, 2}, merupakan subset  A.
Himpunan itu sendiri dapat merupakan elemen. Misalnya ada himpunan B = {1, 2, {3, 4}}. Elemen-elemen B bukan 1, 2, 3, dan 4. Melainkan, hanya ada tiga elemen B, yaitu bilangan 1 dan 2, dan himpunan {3, 4}.
Elemen-elemen suatu himpunan dapat berupa apa saja. Misalnya, C = { merah, hijau, biru }, adalah suatu himpunan yang elemen-elemennya adalah warna-warna merah, hijau dan biru.
Menggunakan himpunan-himpunan yang didefinisikan di atas, yaitu A = {1, 2, 3, 4 }, B = {1, 2, {3, 4}} dan C = { red, green, blue }:
  • 2 ∈ A
  • {3,4} ∈ B
  • {3,4} adalah anggota dari B
  • Yellow ∉ C
  • Kardinalitas D = { 2, 4,  8, 10, 12 } adalah finit dan sama dengan 5.
  • Kardinalitas P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} (bilangan prima) adalah infinit (ini dibuktikan oleh Euclid)

BILANGAN

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Macam - macam bilangan antara lain:


BILANGAN ASLI

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol.Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).
Contoh :{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

BILANGAN CACAH

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol. Contoh :{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

BILANGAN NEGATIF

Bilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.
Contoh :{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

BILANGAN BULAT

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.Contoh :{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

BILANGAN PRIMA

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.Contoh :{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}


BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.Contoh :{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Contoh :
{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks adalahsuatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Contoh :{3 + 2i}

BILANGAN IMAJINER

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :   x2 + 1 = 0
atau secara ekuivalen
x2 = -1
atau juga sering dituliskan sebagai
x = √-1

BILANGAN REAL

Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilanganrasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilanganirrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).


BILANGAN IRRASIONAL

Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.Contoh :π      =          3,141592653358…….. √2    =          1,4142135623……..e      =          2,71828281284590…….

BILANGAN RASIONAL

Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol. Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).Contoh :{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}
Bilangan pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional. Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.
Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.




BILANGAN PECAHAN

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Label:

Komentar

Posting Komentar