Hubungan dan Fungsi

RELASI (HUBUNGAN)

Relasi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana A disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan).Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Dalam mengerjakan soal relasi dapat dikerjakan menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Contoh :

A= {Buyung, Doni, Vita, Putri}

B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}

dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.

Keterangan: Buyung suka IPS dan kesenian, Doni suka Ketrampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan tiga metode:

a. Dengan metode diagram panah

b. Dengan metode diagram cartesius

c. Dengan metode himpunan pasangan berurutan

{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}

FUNGSI (PEMETAAN)

Fungsi atau yang sering disebut juga dengan pemetaan masih termasuk dalam relasi. Suatu relasi disebut fungsi jika semua anggota himpunan daerah asal dipasangkan tepat satu ke daerah kawannya.

Simbol fungsi yang memetakan himpunan A ke B adalah

  \[ f: \; A \rightarrow B\]

Contoh pemasalahan pada fungsi:

Diketahui himpunan A dan B diberikan seperti di bawah:

  \[ A = \...\{ 0, 1, 2, 3, 4 \...\} \]

  \[ B = \... \{ 0, 1, 2, ..., 10 \...\} \]

Didefinisikan fungsi f: A \rightarrow B dengan f(x) = x + 5.

Tentukan hasil pemetaan dari x \in A oleh fungsi f, D_{f}, K_{f}, dan R_{f}!

Pembahasan :

Peta dari x \in A oleh fungsi f yaitu y = f(x):

  \[ f(0) = 0 + 5 = 5 \]

  \[ f(1) = 1 + 5 = 6 \]

  \[ f(2) = 2 + 5 = 7 \]

  \[ f(3) = 3 + 5 = 8 \]

  \[ f(4) = 4 + 5 = 9 \]

D_{f} = Daerah Asal

  \[ D_{f} = A = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4 \...\} \]

K_{f} = Daerah Kawan

  \[ K_{f} = B = \left \{ 0, 1, 2, ..., 10 \... \} \]

Daerah Hasil = R_{f}

  \[ D_{f} = A = \left \{5, 6, 7, 8, 9 \right \} \]

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi dikelompokkan menjadi 3 (tiga) jenis yaitu fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif. Pengelompokkan tersebut didasarkan pada sifatnya:

Fungsi Injektif/Fungsi Into (Fungsi Satu-satu)

Fungsi pertama yang akan dibahas adalah fungsi injektif atau sering disebut dengan fungsi into atau fungsi satu-satu. Fungsi f: A \rightarrow B dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.

Pada fungsi injektif, anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak memiliki pasangan, namun semua anggota kodomain yang terpsangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari satu.

Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)

Fungsi Surjekti atau onto memiliki ciri yaitu anggota kodomainnya boleh memiliki pasangan lebih dari satu, namun tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan. Fungsi surjektif biasanya dipenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama atau lebih banyak dari anggota domain.

Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Fungsi Bijektif merupakan gabungan dari fungsi injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain terpasangkan tepat satu. Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif belum pasti fungsi/pemetaan, namun kebalikan fungsi dari fungsi bijektif juga merupakan fungsi/pemetaan.