Langsung ke konten utama
MATRIKS

Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.
Contoh :

Diketahui jumlah penjualan mobil jenis A, B, dan C, dengan harga jual masing-masing 146, 275, dan 528 (dalam juta) pada kota-kota P, Q, R, adalah :
JENIS MOBILHARGA MOBIL (JUTA)JUMLAH PENJUALAN TIAP KOTA (UNIT)
KOTA PKOTA QKOTA R
A146345641
B275453637
C528513246

Data penjualan mobil tersebut dapat dibuat dalam bentuk matriks sebagai berikut :
  • Matriks harga mobil adalah \begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}
  • Matriks jumlah penjualan adalah \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:
pengertian dan ordo matriks
  • Banyak baris, m = 3
  • Banyak kolom, n = 3
  • Ordo matriks,  m x n = 3 x 3
Penamaan atau notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil :

E = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}

Dimana, e_{12} = 56 adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan  yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut :

E = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} atauB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks Penjumlahan

Matriks penjumlahan bisa terdiri dari dua matriks atau lebih, yang dapat dijumlakan jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama.

Matriks Pengurangan

Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.

Matriks Perkalian

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka  r.A = (r.a_{ij}).
Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:
  • r(A + B) = rA + rB
  • r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:
perkalian matriks
Elemen-elemen matriks C_{(m \times s)} merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:
perkalian elemen matriks

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja.
  
Contoh :
A = (1  4) atau B = (3  7  9) adalah matriks baris

\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix} atau D = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.
Contoh :
A = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix} adalah matriks persegi berordo 3, atau
B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks a_{ij} = 0 untuk i > j atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks a_{ij} = 0 untuk i < j atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.
Contoh :
A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} adalah matriks segitiga atas,
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix} adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks a_{ij} = 0 untuk i \neq j atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.
Contoh :
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} atau B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.
Contoh :
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} atau B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

6. Matriks Indentitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. 
Contoh :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} atauB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen a_{ij} sama dengan elemen a_{ji}.
Contoh :
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari A_{m x n} adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.
Contoh :
\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} ditranspose menjadi \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}.

Sifat dari transpose matriks: (A^T)^T = A.

Komentar

Posting Komentar