INTEGRAL

INTEGRAL

Integral kalkulus atau integrasi adalah kebalikan dari differensiasi, yaitu:

• Apabila  fungsi  F(x) merupakan an integral (anti derivative) function dari fungsi f(x), maka : F(x) disebut sebagai primitive function, sedangkan
• f(x) merupakan derivative dari F(x) dan f(x) adalah fungsi kontinyu (a continuous function) di atas domainnya atau suatu interval independent variabel x. 
• Jadi integrasi atau integral kalkulus menyangkut pencarian (tracing) asal (the parentage of) dari fungsi f(x). Tetapi differensiasi mencari turunan (derivative atau differentiation) dari F(x).
• Differensiasi dari F(x) menghasilkan fungsi yang unik (a unique derivative function) f(x).
• Sebaliknya, integration dari f(x) menghasilkan banyak tak terbatas bentuk fungsi (indefinite number of possible parents)  F(x).

Integral adalah kebalikan dari diferensial.

Notasi:

• f(x) adalah fungsi yang akan diintegralkan
• dx tanda untuk melakukan diferensiasi terhadap x
• →  notasi diferensiasi dari the primitive function.

Rule 1 (the power rule)

               

Contoh Soal

• Rule 2 (the exponential rule)

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang biasa dinotasikan dalam bentuk  (e pangkat x).

                                                    

- Rule 2a

                                                   

- Rule 2b

                                                      

                                                    

Contoh soal

• Rule 3 (the logaritmic rule)

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

- Rule 3a

                                                      

                                                     

Rule ini bentuk spesial (a special form) dari the power function  xn  karena untuk n = 1 tidak bisa dilakukan atas dasar Rule 1 (the power rule) sebab menjadi 1/0 = ∞

- Rule 3b

                                                     

Contoh soal

• Rule 4 (the integral of sum)

Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bias diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

                                             

dimana c, c1 dan c2 adalah arbitrary in value  c = c1 + c2

                                            

Contoh soal

• Rule 5 (the integral of multiple)

                                           

Integral lipat dua dengan bentuk umum ∫∫f(x,y) dA biasanya digunakan untuk menghitung luas. Luas dari suatu bidang dapat dipandang dengan sustu integral lipat dua jika f(x,y)=1 sehingga integral lipat dua.

Contoh soal

• Rule 6 (the subtition rule)

Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

                                            

Teknik perhitungan pengintegralan dengan menggunakan rumus integral subtitusi memerlukan 2 langkah sebagai berikut:

1. Memilih fungsi  u : g(x) sehingga ∫f (g(x)) g'(x) dx dapat diubah menjadi ∫f (u) du.

2. Tentukan fungsi integral umum = f (u) yang bersifat f' (du) : f (u).

Contoh Soal

• Rule 7 (integration by parts)

Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

                                                     

                                                       

Diintegral menjadi

                                            

Kiri dan kanan dikurangi

                                             

Contoh soal

• Rule 8 (trigonometric rule)

Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri.

𝓕(𝒙)	𝓕′(𝒙)
𝐬𝐢𝐧𝒙	cos𝑥
𝐜𝐨𝐬𝒙	−sin𝑥
𝐭𝐚𝐧𝒙	𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝐬𝐞𝐜𝒙	tan𝑥.sec𝑥
𝐜𝐨𝐭𝒙	−𝑐𝑠𝑐2𝑥
𝐜𝐬𝐜𝒙	−cot𝑥.csc𝑥

Contoh Soal